你能数到多少?

几则故事

1. 谁说出的数字最大谁赢

有这么一个故事,说的是两个匈牙利贵族决定做一次数数游戏——谁说出的数字大谁赢。

一个贵族说,“好,你先说吧!”。

另一个贵族绞尽脑汁想了好几分钟,最后说出了他所想到的最大数字:“3”。

现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后,他表示弃权说:“你赢啦!”。

这或许只是一个挖苦人的故事,然而

有不少非洲探险家证实,在某些原始部族里,不存在比3大的数词。如果问他们当中的一个人有几个儿子,或杀死过多少敌人,那么,要是这个数字大于 3,他就会回答说“许多个”。

在古代,一方面人们在日常生活中很难接触到大数,另一方面人们在计数方面还比较原始。因此,只要遇到超过认知的数量,都会用类似”许多”,或者”不计其数”等来表达。

2. 印度舍罕王的重赏

有一个人曾经在大数目字上吃了亏,那就是印度的舍罕王(Shirham)。

根据古老的传说,舍罕王打算重赏象棋的发明人和进贡者,宰相西萨·班·达依尔(Sissa Ben Dahir) 。这位聪明大臣的胃口看来并不大,他跪在国王面前说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子;在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊,把这样摆满棋盘上所有 64 格的麦粒,都赏给您的仆人罢!”。

“爱卿。你所求的并不多啊。”国王说道,心里为自己对这样一件奇妙的发明所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的。” 说着,他令人把一袋麦子拿到宝座前。

随后,一袋袋麦子拿到了宝座前,并开始计数麦粒。麦粒刚开始增长很慢,但越往后的格子增长得越迅速。最后,即使拿来全印度的粮食,国王也兑现不了承诺。因为,填满64个格子,大概需要1844亿亿颗麦粒(=2的64次方-1)。

这位宰相所要求的,竟是全世界在 2000 年内所生产的全部小麦!

3. 梵天预言世界末日

偏爱数学的历史学家鲍尔(Ball)是这样讲述这段故事的:

在世界中心贝拿勒斯的圣庙里,安放着一个黄铜板,板上插着三根宝石针。

梵天在创造世界的时候,在其中的一根针上从下到上放下了由大到小的 64 片金片。这就是所谓的梵塔。

不论白天黑夜,都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则,把这些金片在三根针上移来移去:一次只能移一片,并且要求不管在哪一根针上,小片永远在大片的上面。

当所有 64 片都从梵天创造世界时所放的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

按上述规则移动金片的规律是:不管把哪一片移到另一根针上,移动的次数总要比移动上面一片增加一倍。第一片只需一次,下一片就按几何级数加倍。

这个故事与舍罕王重赏的故事具有等价性,需要移动的次数也是1844亿亿(=2的64次方-1)。

如果僧侣每秒移动一次,日夜不停也需要将近5800亿年才能完成。

4. 印刷行数问题

假设有一台印刷机器可以连续印出一行行文字,并且每一行都能自动换一个字母或其他印刷符号,从而变成与其他行不同的字母组合。这样一架机器包括一组圆盘,盘与盘之间像汽车里程表那祥装配,盘缘刻有全部字母和符号。这样,每一片轮盘转动一周,就会带动下一个轮盘转动一个符号。

这台机器能印出所有可能的字母及符号的组合,能够印出人类自从能够写字以来所写出的一切句子:每一句散文,每一行诗歌,每一篇社论,每一则广告,每一卷厚厚的学术论文,每一封书信,每一份订奶单……

这台机器能够印出一些有意思的句子:

horse has six legs and…(马有六条腿,并且……)
或者
I like apples cooked in terpentin…
(我喜欢吃松节油煎苹果……)。
不过,只要找下去,一定会发现莎士比亚(William Shakespare)的每一行著作,甚至包括被他扔进废纸篓里去的句子!

不仅如此,这架机器还将印出今后各个世纪所要印出的东西。

英语中有 26 个字母、十个数码(0,1,2,…,9)、还有14个常用符号(空白、句号、逗号、冒号、分号、问号、惊叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号),共50个字符。再假设这台机器有65个轮盘,以对应每一印刷行的平均字数。

对于每行的每一个字符,都有50种可能性。由于每行有65个字符,那么整行字符组合的可能性共有50的65次方,即10的110次方。

设想宇宙间的每个原子都变成一台独立的印刷机(3乘以10的74次方),这些机器从地球诞生以来就一直在工作(10的17次方秒或30亿年),这些机器都以原子振动的频率进行工作(每秒10的15次方次)。那么,到目前为止,这些机器印出的总行数大约是:

(3乘以10的74次方) 乘以 (10的17次方) 乘以 (10的15次方)=3乘以10的106次方

总行数仅仅是上述可能性总数的三千分之一左右而已。如此看来,想依靠这些机器打印出你想要的内容,目前几乎是不可能的。


参考

《从一到无穷大》

作者:乔治·伽莫夫

乔治·伽莫夫(George Gamow,1904-1968),美籍俄裔物理学家、宇宙学家、科普作家,热大爆炸宇宙学模型的创立者,也是最早提出遗传密码模型的人。

宇宙原子数

  • 作者提到,目前已知宇宙中所有原子的数目为3乘以10的74次方。(这是指目前用最大的望远镜所能探测到的那部分宇宙。)
  • 根据维基百科,计算可观测宇宙中估计的原子总数大约为10的80次方个氢原子。

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